第13章 三角形中的边角关系、命题与证明测试卷一、选择题(每小题3分，共30分)
1．已知三根木条的长度如下，能组成三角形的是( )
A．2 cm，2 cm，5 cm B．2 cm，2 cm，4 cm
C．2 cm，3 cm，5 cm D．2 cm，3 cm，4 cm
2．下列命题是假命题的是( )
A．等角的补角相等
B．相等的角是内错角
C．两点之间，线段最短
D．两点确定一条直线
3．下列选项中，能够用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是( )
A．a＝－2 B．a＝－1
C．a＝1 D．a＝2
4．假如三角形三个内角的度数之比为4∶11∶7，那么那个三角形是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不能确定
5．以2和6为两边长及另一边组成的边长差不多上整数的三角形共有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．下列四个命题：①同位角相等；②相等的角是对顶角；③直角三角形的两个锐角互余；④三条边都相等的三角形是等边三角形．其中是真命题的有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．如图1，∠1＝110°，∠2＝135°，那么∠3的度数是( )
图1
A．55° B．65° C．75° D．85°
8．一副三角尺拼成如图2所示图形，其中∠C＝90°，∠B＝45°，∠E＝30°，则∠BFD的度数是( )
图2
A．15° B．25° C．30° D．10°
9．如图3，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC＝128°，∠C＝36°，则∠DAE的度数是( )
图3
A．10° B．12° C．15° D．18°
10．如图4，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点E作EF⊥BC于点F，已知BC＝10，△ABD的面积为12，则EF的长为( )
图4
A．1.2 B．2.4 C．3.6 D．4.8
二、填空题(每小题4分，共16分)
11．说明命题“若x＞－4，则x2＞16”是假命题的一个反例能够是x＝________．
12．命题“有两边相等的三角形是等腰三角形”的条件是______________，结论是______________，它的逆命题是______________．
13．如图5，有一块含有60°角的三角尺的两个顶点放在一个长方形的对边上．假如∠1＝18°，那么∠2的度数是________．
图5
14．如图6，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE，设△ADF的面积为S1，△CEF的面积为S2，若S△ABC＝6，则S1－S2＝________．
图6
三、解答题(共54分)
15．(8分)用“假如……那么……”改写命题．
(1)同角的补角相等；
(2)两个有理数的积仍是有理数．
16．(10分)如图7所示，在△ABC中，∠BAC＝4∠ABC＝4∠C，BD⊥AC于点D.
求∠ABD的度数．
图7
17．(12分)分析下面所举反例是否正确，若不正确，请改正．
(1)若|x|＝|y|，则x＝y.
反例：取x＝3，y＝3，则|x|＝|y|，因此此命题是假命题．
(2)两个锐角的和一定是钝角．
反例：取∠1＝30°，∠2＝100°，则∠1＋∠2＝130°，不符合命题的结论，因此此命题是假命题．
(3)若|a|＝a，则a＞0.
反例：取a＝0，符合命题的条件，但a＝0不符合命题的结论a＞0，因此此命题是假命题．
18．(12分)如图8，已知DE∥BC，FG∥CD，求证：∠CDE＝∠BGF.
图8
19．(12分)如图9，△ABC的两条内角平分线相交于点P.
(1)若∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，求∠BPC的度数；
(2)若∠A＝78°，求∠BPC的度数；
(3)假如∠A＝α°，试猜想∠BPC的度数(不需要说明理由)．
图9
答案
1． D 2．B 3.A 4.B 5． B 6．C 7． B 8．A 9． A 10． B
11．－3(答案不唯独)
12．一个三角形有两边相等 那个三角形是等腰三角形 等腰三角形的两边相等
13． 12°
14． 1
15．解：(1)假如两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．
(2)假如两个数是有理数，那么这两个数的积仍是有理数．
16．解：设∠C＝x°，则∠ABC＝x°，∠BAC＝4x°，
由三角形内角和定理得4x＋x＋x＝180，因此x＝30，
因此∠BAC＝120°，
因此∠ABD＝∠BAC－∠D＝120°－90°＝30°.
17．解：(1)所举反例不正确．取x＝3，y＝－3，则|x|＝|y|成立，符合命题的条件，但x＝y不成立，因此此命题是假命题．
(2)所举反例不正确．取∠1＝30°，∠2＝50°，符合命题的条件，但∠1＋∠2＝80°，不符合命题的结论，因此此命题是假命题．
(3)本题所举反例是正确的．
18．证明：∵DE∥BC，(已知)
∴∠CDE＝∠DCG.(两直线平行，内错角相等)
又∵FG∥CD，(已知)
∴∠DCG＝∠BGF，(两直线平行，同位角相等)
∴∠CDE＝∠BGF.(等量代换)
19．解：(1)因为BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，因此∠PBC＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png∠ABC＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png×60°＝30°，
∠PCB＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png∠ACB＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png×40°＝20°，
由三角形内角和定理有
∠BPC＝180°－30°－20°＝130°.
(2)在△ABC中，
因为BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
则∠PBC＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png∠ABC，∠PCB＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png∠ACB，
因此∠PBC＋∠PCB＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png(∠ABC＋∠ACB)．①
因为∠A＝78°，
因此∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝180°－78°＝102°.②
将②代入①，得∠PBC＋∠PCB＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png×102°＝51°，因此∠BPC＝180°－51°＝129°.
(3)若∠A＝α°，则∠BPC＝90°＋df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.pngα°.
